इस पाठ में, छात्र निम्नलिखित कार्य करने में सक्षम होंगे:
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संदर्भ: एनसीईआरटी पुस्तक संरेखण
यह पाठ एनसीईआरटी ग्रेड 8 गणित पाठ्यपुस्तक: गणित प्रकाश, अध्याय 5: वर्ग और वर्गमूल, खंड 4 – पाइथागोरस त्रिक के साथ संरेखित है।
छात्रों को पहले से ही पता होना चाहिए:
पाठ के अंत तक, छात्र निम्नलिखित कार्य करने में सक्षम होंगे:
यह पाठ पाइथागोरस प्रमेय को संख्याओं के पैटर्न से जोड़ता है। पाइथागोरस त्रिक की अवधारणा बीजगणितीय और ज्यामितीय अवधारणाओं के बीच एक सुंदर संबंध दर्शाती है। यह तार्किक तर्क और पैटर्न पहचान – आवश्यक गणितीय कौशल – को विकसित करता है।
| शीर्षक | अनुमानित अवधि | प्रक्रिया | संदर्भ सामग्री |
|---|---|---|---|
| संलग्न करें | 5 | एक प्रश्न से शुरू करें: “3 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाले एक समकोण त्रिभुज में, क्या आप बिना गणना के तीसरी भुजा का अनुमान लगा सकते हैं?” छात्रों को याद होगा कि 32+42=52 है । चर्चा करें कि ऐसे संख्या समूह हमेशा a2+b2=c2 को कैसे संतुष्ट करते हैं ‘पाइथागोरस त्रिक’ शब्द का परिचय । | स्लाइड्स |
| अन्वेषण करें | 10 | वीआर लैब का अन्वेषण करें | स्लाइड्स + वर्चुअल लैब |
| व्याख्या करें | 10 | शिक्षक सूत्र का उपयोग करके त्रिक उत्पन्न करने का तरीका बताते हैं: (2m,m2−1,m2+1) पाठ्यपुस्तक से उदाहरणों के माध्यम से कार्य करें:
| स्लाइड्स |
| मूल्यांकन करें | 10 | छात्र एलएमएस पर स्व-मूल्यांकन कार्य का प्रयास करेंगे | वर्चुअल लैब |
| विस्तरित करें | 5 | वास्तविक जीवन की ज्यामिति से जुड़ाव को प्रोत्साहित करें , जैसे, वर्गाकार कोनों का निर्माण, वास्तुकला और डिज़ाइन। और चर्चा करें कि सभी त्रिक इस सूत्र द्वारा उत्पन्न नहीं किए जा सकते (उदाहरणार्थ, 9, 12, 15)। | स्लाइड्स |
ज्यामिति में, आप पहले ही पाइथागोरस प्रमेय सीख चुके हैं – किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण (समकोण के विपरीत भुजा, c) का वर्ग अन्य दो भुजाओं (a और b) के वर्गों के योग के बराबर होता है।
a2+b2=c2
जब तीन पूर्ण संख्याएँ या प्राकृत संख्याएँ इस संबंध को पूरा करती हैं, तो वे एक पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं। संख्याओं के ये विशेष समूह बीजगणित और ज्यामिति को खूबसूरती से जोड़ते हैं।
उदाहरण: → संख्याएँ (3, 4, 5) एक पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं। 32+42=52
1. परिभाषा
पाइथागोरस त्रिक तीन धनात्मक पूर्णांकों (a, b, c) का एक समूह है जैसे कि a2+b2=c2 , जहाँ c कर्ण है , और a और b समकोण त्रिभुज का आधार और ऊँचाई हैं ।
2. सामान्य पाइथागोरस त्रिक के उदाहरण
| त्रिक | सत्यापन |
| (3, 4, 5) | 32+42=9+16=25=52 |
| (5, 12, 13) | 52+122=25+144=169=132 |
| (8, 15, 17) | 82+152=64+225=289=172 |
ये त्रिक निर्माण, डिजाइन और मापन संबंधी समस्याओं में अक्सर दिखाई देते हैं।
3. पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न करना
हम एक सरल सूत्र का उपयोग करके कई पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न कर सकते हैं:
a=m2−1, b=2m, c=m2+1, जहाँ m से बड़ी कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
| m | a = m² – 1 | b = 2m | c = m² + 1 | त्रिक |
| 2 | 3 | 4 | 5 | (3, 4, 5) |
| 3 | 8 | 6 | 10 | (6, 8, 10) |
| 4 | 15 | 8 | 17 | (8, 15, 17) |
| 5 | 24 | 10 | 26 | (10, 24, 26) |
4. पाइथागोरस प्रमेय से संबंध
प्रत्येक पाइथागोरस त्रिक एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई दर्शाता है। यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ a2+b2=c2 का अनुसरण करती हैं , तो त्रिभुज समकोण होना चाहिए।
5. वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग
यह पूरे पाठ में प्रयुक्त शब्दावली शब्दों की सूची है।
पाइथागोरस प्रमेय गणित के सबसे सुंदर सिद्धांतों में से एक है। यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज में , कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है ।
a2+b2=c2
यह प्रमेय हमें यह समझने में मदद करता है कि समकोण त्रिभुजों की भुजाएँ किस प्रकार संबंधित हैं और (3, 4, 5) या (5, 12, 13) जैसे पाइथागोरस त्रिक को जन्म देता है।
वर्चुअल लैब आपको इंटरैक्टिव 3D मॉडल के माध्यम से इस प्रमेय का अन्वेषण, दृश्यांकन और सत्यापन करने की अनुमति देता है।
चरण 1: त्रिभुज की भुजाओं का परिचय
चरण 2: प्रमेय का ज्यामितीय प्रमाण
चरण 3: प्रमेय का दृश्य प्रतिनिधित्व
चरण 4: वास्तविक दुनिया में अनुप्रयोग
चरण 5: मूल्यांकन