वास्तविक संख्याओं पर संचालन

चार मूलभूत संक्रियाएँ— जोड़, घटाव, गुणा और भाग —सभी वास्तविक संख्याओं पर की जा सकती हैं। आइए देखें कि प्रत्येक संक्रिया के तहत वास्तविक संख्याएँ कैसे व्यवहार करती हैं।

a) समापन संपत्ति

संख्याओं के एक समूह को किसी संक्रिया के अंतर्गत बंद कहा जाता है यदि उस संक्रिया को उस समूह में किन्हीं दो संख्याओं पर करने से एक संख्या प्राप्त होती है जो उसी समूह से संबंधित होती है।

वास्तविक संख्याओं के लिए:

• योग: a + b एक वास्तविक संख्या है।
• घटाव: a – b एक वास्तविक संख्या है।
• गुणन: a × b एक वास्तविक संख्या है।
• विभाजन: a ÷ b एक वास्तविक संख्या है (केवल जब b ≠ 0).

उदाहरण: √2 + 3 = 4.414… → वास्तविक संख्या 5 ÷ 2 = 2.5 → वास्तविक संख्या

अतः, वास्तविक संख्याएं शून्य से भाग देने के अतिरिक्त सभी संक्रियाओं के अंतर्गत बंद होती हैं।

b) विनिमेय गुण

संख्याओं का क्रम बदलने से जोड़ या गुणा का परिणाम नहीं बदलता।

a+b = b+a  और a×b =b×a 

उदाहरण: 2 + √3 = √3 + 2 5 × √2 = √2 × 5

c) साहचर्य गुण

संख्याओं को जिस प्रकार समूहीकृत किया जाता है , उसका जोड़ या गुणा के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

(a+b)+c = a+(b+c) और (a×b)×c = a×(b×c)

उदाहरण: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 (√2 × 3) × 5 = √2 × (3 × 5) = 15√2

d) वितरणात्मक गुण

गुणन, जोड़ और घटाव दोनों पर लागू होता है।

a×(b+c) = a×b + a×c

उदाहरण: 2(√3 + 5) = 2√3 + 10 √2(√2 + 3) = (√2 × √2) + 3√2 = 2 + 3√2

e) वास्तविक संख्याओं से संबंधित सर्वसमिकाएँ

व्यंजकों को सरल करते समय अक्सर उपयोग की जाने वाली कुछ उपयोगी बीजीय सर्वसमिकाएँ:

1. √ab= √a. √b
2. √a/b= √a./√b
3. (√a+√b)(√a−√b)=a − b
4. (a+√b)(a−√b)=a² − b
5. (√a+√b)(√c+√d)= √ac + √ad + √bc + √bd
6. (√a+√b)² =a+ 2√ab + b

उदाहरण: (√5 + 2)(√5 – 2) = (√5)² – (2)² = 5 – 4 = 1

f) हर का युक्तिकरण

यदि किसी भिन्न के हर में करणी (वर्गमूल) है, तो हम अंश और हर को हर के संयुग्म से गुणा करके उसे परिमेय बनाते हैं ।

उदाहरण:

1/ √3 =1/ √3 . √3 / √3 = √3 / √3 . √3 = √3 /3

g) परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच संक्रियाएँ