इस पाठ में, शिक्षार्थी बहुपद के शून्यकों की अवधारणा और ग्राफ़ पर उनके ज्यामितीय निरूपण की समझ प्रदर्शित करते हैं। छात्र सीखते हैं कि कैसे एक बहुपद के शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के अनुरूप होती है जिन पर बहुपद का ग्राफ़ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
छात्र निम्नलिखित कार्य करने में सक्षम होंगे:
संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित – अध्याय 2: बहुपद, खंड: 02- बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ।
पाठ के अंत तक, छात्र निम्नलिखित कार्य करने में सक्षम होंगे:
इस सत्र में, छात्र यह पता लगाएँगे कि किसी बहुपद के शून्यकों (मूलों) को ग्राफ़िक रूप से कैसे दर्शाया जा सकता है। वे कल्पना करेंगे कि कैसे एक बहुपद ग्राफ़ का x-अक्ष के साथ प्रत्येक प्रतिच्छेदन एक शून्य के अनुरूप होता है और रैखिक तथा द्विघात समीकरणों के लिए इसकी ज्यामितीय व्याख्या करना सीखेंगे।
| शीर्षक | अनुमानित अवधि | प्रक्रिया | संदर्भ सामग्री |
|---|---|---|---|
| संलग्न करें | 5 | x-अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा का ग्राफ़ प्रदर्शित करें। पूछें:
अपेक्षित उत्तर: छात्र इन्हें उन बिंदुओं के रूप में पहचानते हैं जहाँ y = 0 है। शिक्षक समझाते हैं: “इन्हें बहुपद के शून्यक कहते हैं। आज हम इनका ज्यामितीय अर्थ समझेंगे।” | स्लाइड |
| अन्वेषण करें | 10 | घन बहुपद और रैखिक बहुपद की छवि दिखाएँ और पूछें
अपेक्षित उत्तर: – 3 और 1 शिक्षकों का स्पष्टीकरण: – आइए जानें कि हम उन अंतःखंडों की गणना कैसे कर सकते हैं जो संबंधित बहुपदों के लिए शून्य होंगे | स्लाइड |
| व्याख्या करें | 10 | शिक्षक का स्पष्टीकरण:
| स्लाइड और वर्चुअल लैब |
| मूल्यांकन करें | 10 | छात्र एलएमएस पर स्व-मूल्यांकन कार्य का प्रयास करेंगे | | वर्चुअल लैब |
| विस्तरित करें | 5 | परिदृश्य चिंतन:
| स्लाइड |
गणित में, बहुपद आवश्यक हैं क्योंकि ये हमें विभिन्न फलनों और वक्रों को व्यक्त करने में मदद करते हैं। किसी बहुपद के “शून्य” (या मूल) x के वे मान होते हैं जो बहुपद को शून्य के बराबर बनाते हैं। ज्यामितीय रूप से, ये शून्य उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहाँ बहुपद का ग्राफ़ निर्देशांक तल पर x-अक्ष को काटता या स्पर्श करता है।
परिभाषा
एक बहुपद का शून्य
p(x) एक मान x=k है जिससे p(k)=0 है । ज्यामितीय रूप से, किसी बहुपद का शून्य उस बिंदु (बिंदुओं) का x-निर्देशांक होता है जहाँ उसका ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
ज्यामितीय व्याख्या
विभिन्न प्रकार के बहुपदों के लिए शून्य
रैखिक बहुपद
द्विघात बहुपद
| मामला | विवरण | शून्यों की संख्या | |
| मामला 1 | परवलय x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है। | दो अलग-अलग वास्तविक शून्य | |
| केस 2 | परवलय x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करता है। | एक वास्तविक शून्य (दो बराबर या दोहराए गए शून्य) | |
| केस 3 | परवलय पूरी तरह से x-अक्ष के ऊपर या नीचे होता है तथा उसे प्रतिच्छेदित नहीं करता है। | कोई वास्तविक शून्य नहीं | |
घन बहुपद
उदाहरण 1 (रैखिक):
y=x+1 के लिए , y=0 → x=-1 सेट करें ।
उदाहरण 2 (द्विघात):
y= x² -4 के लिए , y=0 → x=2,-2 सेट करें ।
यह क्यों उपयोगी है?
अनुप्रयोग
यह पूरे पाठ में प्रयुक्त शब्दावली शब्दों की सूची है।
| अवधि | अर्थ |
|---|---|
| शून्य / मूल | x का मान जहाँ p(x)= 0 |
| X- अक्ष | निर्देशांक तल पर क्षैतिज अक्ष |
| एक्स-अवरोधन | वह बिंदु जहाँ ग्राफ़ x-अक्ष को पार करता है |
| बहुपद | axⁿ +bxⁿ⁻¹ +…+ c के रूप का बीजीय व्यंजक |
बहुपद वर्चुअल लैब के शून्यों के ज्यामितीय अर्थ में आपका स्वागत है!
इस इमर्सिव 3D लर्निंग अनुभव में, छात्र यह पता लगाएंगे कि बहुपद ग्राफ़ निर्देशांक तल पर अपने शून्यों को कैसे दर्शाते हैं। यह गतिविधि शिक्षार्थियों को रैखिक, द्विघात और घन बहुपदों के बारे में मार्गदर्शन करेगी—यह दिखाते हुए कि प्रत्येक ग्राफ़ कैसे व्यवहार करता है और शून्यों को ज्यामितीय रूप से कैसे पहचाना जा सकता है।
चरण 1: वर्चुअल लैब में प्रवेश करें
छात्र एक 3D वातावरण में प्रवेश करते हैं, एक परिचयात्मक संदेश प्रकट होता है और उद्देश्य के बारे में जानकारी दी जाती है
छात्र आगे बढ़ने के लिए अगला क्लिक करें।
चरण 2: रैखिक बहुपद
एक सरल रेखा ग्राफ़ (y = ax + b) दिखाई देता है। वे देखते हैं कि रेखा x-अक्ष को कहाँ काटती है – यह बहुपदों का शून्यक है।
अवलोकन: एक रैखिक बहुपद ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदु पर काटता है; इसलिए इसमें एक शून्य होता है।
चरण 3: द्विघात बहुपद
एक परवलय (y = ax² + bx + c) प्रकट होता है।
चरण 4: घन बहुपद
चरण 5: मूल्यांकन