1. यूक्लिड के अभिगृहीत और अभिधारणाएँ

यूक्लिड ने बिंदु, रेखा और समतल जैसे बुनियादी शब्दों की परिभाषा से शुरुआत की, जिन्हें और अधिक परिभाषित नहीं किया जा सकता। इसके बाद उन्होंने स्वयंसिद्ध और अभिधारणाएँ प्रस्तुत कीं:

• अभिगृहीत वे कथन हैं जो गणित की सभी शाखाओं के लिए सत्य माने जाते हैं (उदाहरण के लिए, “संपूर्ण भाग से बड़ा होता है”)।
• अभिधारणाएँ वे कथन हैं जिन्हें केवल ज्यामिति में ही सत्य माना जाता है और जिनका उपयोग ज्यामितीय तर्क के निर्माण के लिए किया जाता है।

2. यूक्लिड के पाँच सिद्धांत

अभिधारणा 1: किसी एक बिंदु से किसी अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

• इसका अर्थ है कि किन्हीं दो भिन्न बिंदुओं से होकर केवल एक ही सीधी रेखा गुजरती है। यह हमें बताता है कि एक रेखा कैसे बनाई जा सकती है और दो बिंदुओं के बीच एक रेखा की विशिष्टता स्थापित करता है।

अभिधारणा 2: एक समाप्त रेखा को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है।

• एक अंत्य रेखा का अर्थ है दो अंत बिंदुओं वाला एक रेखाखंड। यह सिद्धांत कहता है कि हम इसे दोनों दिशाओं में अनंत रूप से बढ़ाकर एक पूर्ण रेखा बना सकते हैं। यह रेखाओं की अनंत प्रकृति को परिभाषित करता है।

अभिधारणा 3: किसी भी केन्द्र और किसी भी त्रिज्या के साथ एक वृत्त खींचा जा सकता है।

• यह अभिधारणा हमें केंद्र और त्रिज्या ज्ञात होने पर वृत्त खींचने की अनुमति देती है। यह वृत्तों से संबंधित निर्माणों का आधार है।

अभिधारणा 4: सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

• यह सिद्धांत समकोणों के बीच समानता को परिभाषित करता है। यह हमें यह समझने में मदद करता है कि प्रत्येक समकोण का माप समान (90°) होता है, चाहे वह कहीं भी या कैसे भी खींचा गया हो।

अभिधारणा 5: यदि दो सीधी रेखाओं पर पड़ने वाली एक सीधी रेखा एक ही ओर के आंतरिक कोणों को दो समकोणों से कम बनाती है, तो दो सीधी रेखाएँ, यदि अनिश्चित रूप से बढ़ाई जाएँ, तो उस ओर मिलती हैं जहाँ कोण दो समकोणों से कम हैं।

• यह अभिधारणा समांतर रेखाओं की अवधारणा से संबंधित है। इसका अर्थ है कि यदि दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं, तो वे अंततः उस भुजा पर मिलेंगी जहाँ उनके आंतरिक कोणों का योग 180° से कम होगा। इस अभिधारणा को यूक्लिड की समांतर अभिधारणा भी कहा जाता है और इसने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति जैसी नई ज्यामितियों की खोज को जन्म दिया है ।

3. यूक्लिड के अभिधारणाओं का महत्व

• वे यूक्लिडियन ज्यामिति की नींव के रूप में कार्य करते हैं।
• इन सरल मान्यताओं का उपयोग करते हुए, यूक्लिड ने तार्किक रूप से सैकड़ों प्रमेय विकसित किये।
• ये सिद्धांत ज्यामितीय निर्माणों, प्रमाणों और तार्किक तर्क को समझने में मदद करते हैं।
• वे इस बात पर जोर देते हैं कि समस्त ज्यामिति को स्वीकृत सत्यों के एक छोटे से समूह पर निर्मित किया जा सकता है।

4. स्वयंसिद्धों और अभिधारणाओं के बीच संबंध

• दोनों ही बिना किसी प्रमाण के स्वीकार किये गये स्वतःसिद्ध सत्य हैं।
• स्वयंसिद्धों का प्रयोग गणित के सभी क्षेत्रों में किया जाता है, जबकि अभिधारणाएं ज्यामिति तक ही सीमित होती हैं।
• साथ मिलकर, वे प्रमेयों और गुणों को निकालने के लिए तार्किक प्रारंभिक बिंदु बनाते हैं।