हुक का नियम: स्प्रिंग प्रत्यास्थ सीमा के भीतर हुक के नियम का पालन करते हैं। इस नियम के अनुसार, स्प्रिंग में उत्पन्न प्रत्यानयन बल, संतुलन स्थिति से उसके विस्थापन के समानुपाती होता है:

Fₓ= -kx

• k स्प्रिंग स्थिरांक है, जो स्प्रिंग की कठोरता का माप है।
• x स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई से विस्थापन है।
• ऋणात्मक चिन्ह यह दर्शाता है कि प्रत्यानयन बल विस्थापन की दिशा के विपरीत कार्य करता है।
• k की इकाई N/m है।

स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य

स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन x m

के साथ स्प्रिंग से जुड़े द्रव्यमान m के ब्लॉक को खींचने के लिए , स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य इस प्रकार दिया गया है:

यह अभिव्यक्ति बल बनाम विस्थापन ग्राफ के लिए छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करके भी प्राप्त की जा सकती है।

बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होता है क्योंकि यह स्प्रिंग बल पर काबू पा लेता है और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इसी प्रकार, विस्थापन x c के साथ स्प्रिंग के संपीड़न के लिए स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य इस प्रकार दिया गया है, 

तथा संपीड़न के लिए बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य भी धनात्मक होता है तथा निम्न प्रकार दिया जाता है: 

उपरोक्त उदाहरण स्प्रिंग बल द्वारा किए गए कार्य पर चर्चा करने के लिए था जब गुटके को ऊपर दिए गए चित्र में दिखाए अनुसार संतुलन स्थिति से विस्थापित किया जाता है। यदि गुटके को प्रारंभिक विस्थापन x i से अंतिम विस्थापन x f तक ले जाया जाता है , तो किया गया कार्य

एक स्प्रिंग बल द्वारा

इस प्रकार, स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, यदि गुटके को xi से खींचकर xi पर वापस जाने दिया जाए, तो चक्रीय प्रक्रम के लिए किया गया कार्य शून्य होता है।      

हमने स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया है कि स्प्रिंग बल (i) केवल स्थिति पर निर्भर है जैसा कि हुक ने पहले कहा था, ( F s = – kx ); (ii) कार्य करता है जो केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है)। इस प्रकार, स्प्रिंग बल एक संरक्षी बल है।

एक स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा

जब ब्लॉक और स्प्रिंग प्रणाली साम्यावस्था में होती है, तो हम स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा V(x) को शून्य मानते हैं। विस्तार (या संपीड़न) x के लिए, उपरोक्त विश्लेषण से पता चलता है कि

यह व्यंजक दर्शाता है कि स्थितिज ऊर्जा विस्थापन के वर्ग पर निर्भर करती है। इस प्रकार, विस्तार को दोगुना करने पर ऊर्जा चार गुना हो जाती है।

स्प्रिंग स्थितिज ऊर्जा की विशेषताएँ

• फलन V(x) साम्यावस्था स्थिति पर न्यूनतम (शून्य) होता है।
• चूंकि स्प्रिंग बल संरक्षी है, इसलिए किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है।
• किसी स्प्रिंग के लिए स्थितिज ऊर्जा वक्र विस्थापन के विरुद्ध आलेखित करने पर परवलय होता है।

कुल यांत्रिक ऊर्जा

यदि द्रव्यमान m के ब्लॉक को x m तक बढ़ाया जाता है और आराम से छोड़ दिया जाता है, तो किसी भी मनमाने बिंदु x पर इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा, जहां x – x m और + x m के बीच स्थित है

द्वारा दी जाएगी कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित है, यह सुझाव देते हुए कि गति और गतिज ऊर्जा संतुलन स्थिति में अधिकतम होगी, x = 0

कुल यांत्रिक ऊर्जा का चित्रमय निरूपण

हुक के नियम का पालन करते हुए एक स्प्रिंग से जुड़े गुटके की स्थितिज ऊर्जा V और गतिज ऊर्जा K के परवलयिक आरेख। ये दोनों आरेख एक-दूसरे के पूरक हैं, एक के बढ़ने पर दूसरा घटता है। कुल यांत्रिक ऊर्जा E = K + V स्थिर रहती है।